* Définition du logarithme décimal

On définit la fonction logarithme décimal, notée log, par $\mathbf{log}\mathbf{}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}{\displaystyle \frac{\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}}{\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{10}\mathbf{)}}}$ .

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction log.
2. a. Calculer $\log (10)$  et $\log (100)$ .
    b. Que peut-on conjecturer sur $\log ({10}^k)$  pour $k$  entier relatif ? Démontrer cette conjecture.
3. La fonction $\log$  possède-t-elle les même propriétés algébriques que la fonction $\ln$  ? Justifier.
4. a. Déterminer les limites de la fonction $\log$  aux bornes de son ensemble de définition.
    b. Étudier  les variations de la fonction $\log$  sur son ensemble de définition.